التمرين الاول
نعتبر المتتالية ( `u_n `) حيث
`u_{n+1} = \frac{u_n}{1+u_n} و u_0 = 2 `
بين أن:
`u_n = \frac{2}{2n+1}`
*التحقيق
`\frac{2}{2\times 0 + 1} = 2 وu_0 = 2 `
2=2 محققة
**نفرض أن `u_n = \frac{2}{2n+1}`
***نبرهن أن ` u_{n+1}= \frac{2}{2n+3}`
لدينا ` u_{n+1} = \frac{u_n}{1+u_n} \ `
` u_{n+1} = \frac{u_n}{1+u_n} \ = \frac{\frac{2}{2n+1}}{1+\frac{2}{2n+1}} \ = \frac{2}{2n+1 + 2}\ = \frac{2}{2n+3}\ =\frac{2}{2(n+1)+1} =\frac{2}{2n+3} `
` u_{n+1}= \frac{2}{2n+3}`
وهو المطلوب
التمرين الثاني
لتكن المتتالية (` u_n`) حيث
`u_0=0 و u_{n+1} = 2u_n – 1`
بين أنه من اجل كل n≠0
`u_n = 2^{n+1}+1`
`2^{0+1}+1 = 2 + 1 =3 و u_0=3 `
التحقيق n=0
`2^{0+1}+1 = 2 + 1 =3 و u_0=3 `
3=3 محققة
نفرض أن :`u_n = 2^{n+1}+1`
نبين أن : `u_(n+1) = 2^{n+2}+1`
لدينا
` u_{n+1} = 2u_n – 1 \ = 2 \times \left( 2^{n+1}+1 \right) – 1 \ = 2^{n+2} + 2 – 1 \ = 2^{n+2} + 1 `
ومنه ` u_{n+1}=2^{n+2} + 1 `
وهو المطلوب
التمرين الثالثنعتبر المتتلية `(u_n) ` حيث
`u_0=1 : \u_{n+1}=\sqrt{1+u_n} و n\in \N `
أثبت أن المتتالية `(u_n) ` متزايدة
نبرهن أن : `u_n≤u_{n+1}`
التحقيق n=0
`u_0=1` و `u_1=\sqrt{u_0+1}=\sqrt{2}`
`u_0≤u_1` محققة
نفرض أن : `u_n≤u_{n+1}`
نبرهن أن : `u_(n+1)≤u_{n+2}`
لدينا `u_n≤u_{n+1}` ومنه `u_n+1≤u_{n+1}+1` ومنه `sqrt(u_n+1)≤sqrt(u_{n+1}+1)`
اذن `u_(n+1)≤u_{n+2}`
وهو المطلوب وعليه المتتالية متزايدة
التمرين الرابعنعتبر المتتالية` (u_n)` حيث
`u_{n+1} = \frac{1+2u_n}{2+u_n} و u_0=0 `
بين أنه من أجل كل n≠0 :
`0 < u_n \le 1`
التحقيق n=1
`u_1 = \frac{1+2u_0}{2+u_0} = \frac{1}{2}`
`0くu_1≤1` محققة
نفرص أن : `0くu_n≤1`
لدينا ` 0くu_n≤1`
ومنه نستنتج مايلي
`u_n>0` ومنه `1+2u_n>0` و `2+u_n>0` اذن `u_(n+1)＞0`...............(1)
`u_{n+1} – 1 = \frac{1+2u_n}{2+u_n} – 1 = \frac{u_n-1}{2+u_n}`
لدينا `u_n≼1` ومنه `u_n -1≼0` والمقام موجب اذن الكسر عدد حقيقي سالب
اذن `u_(n+1)-1≼0` أي `u_(n+1)≼1` ...........................(2)
من 1 و2 نجد
`0くu_(n+1)≤1` وهو المطلوب
التمرين الخامس نعتبر المتتالية (`u_n` ) والمعرغة كمايلي :
`n in N : u_(n+1)= (2u_n)/(1+u_n) و u_0 = 3/2 `
* أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي `n` :
`( n in N ) : u_n > 1`
* التحقيق من أجل `n=0 ` نجد :
محققة`u_0 = 3/2 و u_0 > 1 ; 3/2 > 1 `
نفرض أن ; `u_n＞1`
نبرهن أن :`u_(n+1)＞1`
نحسب الفرق
`u_(n+1) -1 = (2u_n)/(1+u_n) -1`
`= (2u_n -u_n -1)/(u_n+1)= ( u_n -1)/(u_n+1)`
لدينا `u_n＞1` أي `u_n-1＞0` وكذلك `u_n+1＞0` البسط موجب والمقام موجب اذن
`u_(n+1) -1 ≻0` أي :`u_(n+1)＞1` وهو المطلوب
التمرين السادسنعتبر المتتالية (` u_n `) والمعرفة كمايلي :
`u_0 = 1/2` و `( n in N) : u_(n+1)= (u_n)/(3-2u_n)`
أثبت من اجل كل عدد طبيعي ` n` :
` (n in N) : 0 < u_n <= 1/2`
التحقيق من أجل` `n=0` ` نجد :
`u_0 = 1/ 2` و `0 < 1/2 <= 1/2` محققة
نفرض أن : `( n in N ): 0 < u_n <= 1/2`
نبرهن أن : `( n in N ): 0 < u_(n+1) <= 1/2`
لدينا `0 < u_n <= 1/2`
`0 < u_n ` أي
`=> 0 < 2u_n <= 2/2= 1 < 3`
` 3 -2u_n > 0` اذن ` u_n/(3-2u_n) > 0` ومنه ` 0 < u_(n+1)`....................(1)
ومن جهة أخرى `1/2 -u_(n+1)= 1/2 - u_n/(3-2u_n)= (3-2u_n -2u_n)/(2(3-2u_n))`
`= (3-4u_n)/(2(3-2u_n))`
`2(3-2u_n) > 0`
ولدينا `u_n <= 1/2` ومنه `4u_n <= 4/2= 2 < 3`
` 3-4u_n >= 0` ومنه `(3-4u_n)/(2(3-2u_n)) >= 0` `
أذن `u_(n+1) <= 1/2`..............................(2)
من 1 و 2 نستنتج `0 < u_(n+1) <= 1/2`
التمرين الاول
وضع التمرين الاول
التمرين الاول
وضع التمرين الاول
التمرين الاول
وضع التمرين الاول
التمرين الاول
وضع التمرين الاول
123
