GUEBLI MATHS : المتتاليات العددية

الاسئلة الشائعة في البكالوريا

المتتاليات العددية 2) الاحتمالات 1) الدوال

الاعداد المركبة 5) الهندسة في الفضاء 4) صح وخطأ

مدونة حلمنا العربي %25D9%2585%25D8%25AF%25D9%2588%25D9%2586%25D8%25A9%2B%25D8%25AD%25D9%2584%25D9%2585%25D9%2586%25D8%25A7%2B%25D8%25A7%25D9%2584%25D8%25B9%25D8%25B1%25D8%25A8%25D9%258A

**اضغط هنا البرهان بالتراجع تمارين محلولة**

**حساب الحدود**

*مثال*

exemple de suites numérique

حساب الحدود الاولى

u₁ = u₀ + 3 = 2 + 3 = 5

u₂ = u₁ + 3 = 5 + 3 = 8

u₃ = u₂ + 3 = 8 + 3 = 11

u₄ = u₃ + 3 = 11 + 3 = 14

**المتتالية الهندسية**

مثال*1*

نضع

u₀ = 2
(n ∈ N), v_n = 2u_n - 1 و u_n+1 = 3u_n - 1

أثبت أن(`v_n `) متتالية هندسية

حساب v_n+1

v_n+1 = 2u_n+1 - 1

v_n+1 = 2 × (3u_n - 1) - 1

v_n+1 = 6u_n - 2 - 1

v_n+1 = 6u_n - 3

v_n+1 = 3(2u_n - 1)

v_n+1 = 3v_n

ومنه (`v_n `) متتالية هندسية أساسها 3 وحدها لاول3

الحد الاولv₀ = 2u₀ - 1 = 2 × 2 - 1 = 3

مثال*2*

v_n = u_n² - 4 و

أثبت أن(`v_n `) متتالية هندسية

**الحل**

حساب `v_(n+1) `

calcul suite

`v_(n+1)=1/4 v_n `

ومنه `v_n ` متتالية هندسية أساسها `1/4 ` وحدها لاول-4

*تمثيل الحدود*

*مثال*

représentation graphique d'une suite numérique premiers termes d'une suites graphiquement

اولا نرسم المنحنى suite définie par une fonction مع المستقيم ذو المعادلةة `y=x `

ثم نعين الحد الاول المعطى على محور الفواصل ثم ننتقل الى المنحنى ثم المستقيم ثم ننزل الى محور الفواصل لنتحصل على الحد المولي

``كما هو موضح في الرسم

**التمرين الاول**

لتكن (vn ) متتالبة حسابية حيث

$v_{3} = 3$ و $v_{6} = 24$ .

أحسب $v_{0}$ والاساس.
نفس الاسئلة اذا كانت المتتلية هندسية

$v_{3} = v_{0} + 3 r et v_{6} = v_{0} + 6 r .$ $v_{0} = 2 v_{3} - v_{6} = 6 - 24 = - 18$ ,
$r = (v_{3} - v_{0}) / 3 = 21 / 3 = 7$ .
$r = (v_{3} - v_{0}) / 3 = 21 / 3 = 7$
$r = (v_{3} - v_{0}) / 3 = 21 / 3 = 7$ $v_{3} = v_{0} \times r^{3} et v_{6} = v_{0} \times r^{6} .$ $v_{0} = \frac{v_{3}^{2}}{v_{6}} = \frac{3}{8}$ ,
$r^{3} = \frac{v_{3}}{v_{0}} = 3 \times \frac{8}{3} = 8$
اذن $r = 2$ .

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

**التمرين الثاني**

لتكن $(u_{n})$ متتالية معرفة كمايلي $u_{0} = 3 et u_{n + 1} = \frac{4 u_{n} - 2}{u_{n} + 1} .$ من أجل $x \neq - 1$ , نضع $f (x) = \frac{4 x - 2}{x + 1}$ .

أدرس تغيرات $f$ على $[1, + \infty [$ .
بين أنه من أجل كل $n \geq 0$ , فان $u_{n} > 1$ .
لتكن المتتالية $(v_{n})$ ( $n \in N$ $v_{n} = \frac{u_{n} - 2}{u_{n} - 1} .$ بين أن $(v_{n})$ نتتالية هندسية
اكتب عبارة الحد العام $u_{n}$ بدلالة $n$ .
بين أن $(u_{n})$ متقاربة ثم أحسي نهايتها

* من أجل x≠-1
$f^{'} (x) = \frac{6}{(x + 1)^{2}} > 0.$ $f$ مترايدة تماما $[1, + \infty [$ .

اثبات انها متتالية هندسية

$\begin{aligned} v_{n + 1} & = \frac{\frac{4 u_{n} - 2}{u_{n} + 1} - 2}{\frac{4 u_{n} - 2}{u_{n} + 1} - 1} \\ = \frac{4 u_{n} - 2 - 2 u_{n} - 2}{4 u_{n} - 2 - u_{n} - 1} \\ = \frac{2 u_{n} - 4}{3 u_{n} - 2} \\ = \frac{2}{3} (\frac{u_{n} - 2}{u_{n} - 1}) \\ = \frac{2}{3} v_{n} . \end{aligned}$ ادن عبارة الحد العام, $v_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n} v_{0} = \frac{1}{2} {(\frac{2}{3})}^{n} .$
$\begin{aligned} \frac{u_{n} - 2}{u_{n} - 1} = v_{n} & ⟺ u_{n} - 2 = u_{n} v_{n} - v_{n} \\ ⟺ u_{n} (1 - v_{n}) = 2 - v_{n} \\ ⟺ u_{n} = \frac{2 - v_{n}}{1 - v_{n}} \end{aligned}$ وعليه $u_{n} = \frac{2 - \frac{1}{2} {(\frac{2}{3})}^{n}}{1 - \frac{1}{2} {(\frac{2}{3})}^{n}} .$ $(2 / 3)^{n}$ تؤول الى $0$ , اذن $(u_{n})$ متقاربة $2$ .

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

**التمرين الثالث**

متتالية معرفة كما يلي $u_{0} \in] 0, 1]$ $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2} + \frac{u_{n}^{2}}{4} .$

بين أن $0 < u_{n} \leq 1$ .
أثبت أن المتتالية رتيبة.
استنتج انها متقاربة ثم أحسب نهايتها

البرهان بالتراجع يترك لكم*
${دراسة الاتجاه التغيرات المتتالية*}$
$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u_{n}^{2}}{4} - \frac{u_{n}}{2} = \frac{u_{n}}{4} (u_{n} - 2)$ لدينا $u_{n} > 0$ و $u_{n} - 2 \leq - 1 < 0$ . ادن $u_{n + 1} - u_{n} < 0$ . المتتالية $(u_{n})_{n \geq 0}$ متناقصة تماما
بما أن المتتالية متناقصة ومحدودة من الاسفل 0 فانها متفاربة*
$u_{n + 1} = f (u_{n}), où f (x) = \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4} .$ ومنه نجد
$ℓ = f (ℓ) c'est-à-dire ℓ = \frac{ℓ}{2} + \frac{ℓ^{2}}{4} .$ $ℓ = 0$ و $ℓ = 2$ . ولدينا $ℓ \in [0, 1]$ , اذن $ℓ = 0$ .

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

**التمرين الرابع**

المتتالية $(u_{n})$ والمعرفة كمايلي $u_{0} = - 1$ $u_{n + 1} = f (u_{n})$ حيث $f$ دالة معرفة على المجال $[- 2, + \infty [$ : $f (x) = 2 \sqrt{x + 3}$ .

أدرس تغيرات الدالة $f$ على $[- 2, + \infty [$ .
بين أن
−1≤un≤un+1≤6

بين أن المتتالية متقاربة نحو العدد الحقيقي يطلب تعيينه.

1)
$f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 3}} .$ $f^{'} (x) > 0$ : $f$ متزايدة على $[- 2, + \infty [$ .
**************2)
لدينا
$" - 1 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 6 " .$ التحقيف من أجل n=0 نجد

$u_{0} = - 1$ و $u_{1} = 4$ ادن $- 2 \leq u_{0} \leq u_{1} \leq 6$ اذن محققة
نفرض ان
$- 1 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 6.$
نبرهن أن الخاصية من أجل n+1
لدينا الدلة متزايدة على $[- 2, 6]$
$ومنه$

f (- 1) \leq f (u_{n}) \leq f (u_{n + 1}) \leq f (6) .

اذن

2 \sqrt{2} \leq u_{n + 1} \leq u_{n + 2} \leq 6.

اذن الخاصية صحيحة من اجل كل عدد طبيعي

*********3)

بما ان المتتالية متزايدة من السؤال 2 ومحدودةمن الاعلى6 فانها متقاربة

$ℓ$ .النهاية $ℓ \in [- 1, 6]$ . اذن $f (ℓ) = ℓ$ , وعليه $2 \sqrt{ℓ + 3} = ℓ$ . بالتربيع نجد $4 (ℓ + 3) = ℓ^{2}$ , ومنه $ℓ = - 2$ و $ℓ = 6$ . ومن جهة اخرى $ℓ \in [- 1, 6]$ , وعليه $ℓ = 6$ : المتتالية متقاربة نحو $6$ .