النهايات

 النهايات

هام جدا "جميع المعلومات السنة الماضية تجدها هنا ما عليك ايجاد الحل ثم مشاهدة الحل بعد المحاولة الاستاذ قبلي"

عناصر المراجعة  

1)   المشتقات

2) معادلة المماس 

3) نقطة الانعطاف 

4)    شفعية دالة

5) اشارة كثير حدود من الدرجة 2 مع أمثلة

6)  النهايات والمستقيمات المقاربة

7) دراسة تغيرات دالة 

8) كل ما يتعلق بالدالتين ln و exp

تذكير

نهاية دالة كثير حدود عند   `∞+`  هي نهاية أعلى درجة عند  `+∞` 

${lim}_{x\to +\infty }(x^2-3x+1)={lim}_{x\to +\infty }\left(x^2\right)=+\infty$

مثال:  

نهاية دالة كثير حدود عند   `∞-`  هي نهاية أعلى درجة عند   `-∞`   

نهاية دالة ناطقة عند   `+∞`  هي نهاية أعلى درجة في البسط    على أعلى درجة في المقام`+∞`  

$\begin{array}{ccc}{lim}_{x\to +\infty }\left(\frac{2x^2-x}{x+3}\right)& =& {lim}_{x\to +\infty }\left(\frac{2x^2}{x}\right)\\ & =& {lim}_{x\to +\infty }\left(2x\right)\\ & =& +\infty .\end{array}$  

 

$\begin{array}{ccc}\ast {lim}_{x\to -\infty }\left(\frac{2x^2-x}{x+3}\right)& =& {lim}_{x\to -\infty }\left(\frac{2x^2}{x}\right)\\ & =& {lim}_{x\to -\infty }\left(2x\right)\\ & =& -\infty .\end{array}$

$\begin{array}{ccc}{lim}_{x\to +\infty }\left(\frac{x+1}{x^2+2}\right)& =& {lim}_{x\to +\infty }\left(\frac{x}{x^2}\right)\\ & =& {lim}_{x\to +\infty }\left(\frac{1}{x}\right)\\ & =& 0.\end{array}$  

 

$\begin{array}{ccc}\ast {lim}_{x\to -\infty }\left(\frac{x+1}{x^2+2}\right)& =& {lim}_{x\to -\infty }\left(\frac{x}{x^2}\right)\\ & =& {lim}_{x\to -\infty }\left(\frac{1}{x}\right)\\ & =& 0.\end{array}$

$\begin{array}{ccc}\ast {lim}_{x\to +\infty }\left(\frac{x^3-3x}{x^3+x+2}\right)& =& {lim}_{x\to +\infty }\left(\frac{x^3}{x^3}\right)\\ & =& {lim}_{x\to +\infty }\left(1\right)\\ & =& 1.\end{array}$ 

 

$\begin{array}{ccc}\ast {lim}_{x\to -\infty }\left(\frac{x^3-3x}{x^3+x+2}\right)& =& {lim}_{x\to -\infty }\left(\frac{x^3}{x^3}\right)\\ & =& {lim}_{x\to -\infty }\left(1\right)\\ & =& 1.\end{array}$

مثال :

نهاية دالة ناطقة عند   `-∞`  هي نهاية أعلى درجة في البسط    على أعلى درجة في المقام`-∞`  

`

* أمثلة توضيحية  *

.

نحسب النهاية داخل الجذر

ومنه

******************************************************

*النهاية عند عدد*

نريد حساب النهاية عند 2

نشكل جدول الاشارة للمقام

اذن

      

وعليه

(2+)    :    معناه  بقيم اكبر من 2

(2-)    :  معناه  بقيم اصغر من 2 

***باستخدام التحليل و الاختزال***

* $f:x\mapsto \frac{x^2+4x+4}{x^2+8}\text{عند}-2,-\infty ,+\infty$

$\begin{array}{ccc}\ast {lim}_{x\to -2}f\left(x\right)& =& {lim}_{x\to -2}\left[\frac{(x+2{)}^2}{(x+2)(x^2-x+4)}\right]\\ & =& {lim}_{\to -2}\left[\frac{(x+2)}{(x^2-x+4)}\right]\\ & =& 0\end{array}$

$\begin{array}{ccc}\ast {lim}_{x\to -\infty }f\left(x\right)& =& {lim}_{x\to -\infty }\left(\frac{x^2}{x^3}\right)\\ & =& {lim}_{x\to -\infty }\left(\frac{1}{x}\right)\\ & =& 0\end{array}$

 

$\begin{array}{ccc}\ast {lim}_{x\to +\infty }f\left(x\right)& =& {lim}_{x\to +\infty }\left(\frac{x^2}{x^3}\right)\\ & =& {lim}_{x\to +\infty }\left(\frac{1}{x}\right)\\ & =& 0\end{array}$

**مثال**

** $\underset{x\to -5}{lim}\frac{x^2-25}{x^2+2x-15}$

الحل

$$\underset{x\to -5}{lim}\frac{x^2-25}{x^2+2x-15}=\underset{x\to -5}{lim}\frac{(x-5)\; (\; x+5)}{(x-3)\; (\; x+5)}\frac{}{}=\frac{5}{4}$$

**مثال**

 $\underset{z\to 8}{lim}\frac{2z^2-17z+8}{8-z}$

 الحل

$$\underset{z\to 8}{lim}\frac{2z^2-17z+8}{8-z}=\underset{z\to 8}{lim}\frac{\mathrm{(2z-1)}\mathrm{(\; z-8)}}{-(z-8)}=\underset{z\to 8}{lim}\frac{\mathrm{2z-1}}{-1}=-15$$

 

مثال
$\underset{y\to 7}{lim}\frac{y^2-4y-21}{3y^2-17y-28}$

 الحل

$$\underset{y\to 7}{lim}\frac{y^2-4y-21}{3y^2-17y-28}=\underset{y\to 7}{lim}\frac{(Y-7)(Y+3)}{(3y+4)(y-7)}=\underset{y\to 7}{lim}\frac{\mathrm{Y+3}}{\mathrm{3Y+4}}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$$

***باستخدام المرافق***

$f:x\mapsto \sqrt{1+x^2}-x\text{عند}-\infty ,+\infty$

 

 

 ${lim}_{x\to -\infty }\sqrt{1+x^2}=+\infty \left(1\right)\text{و}{lim}_{x\to -\infty }(-x)=+\infty \left(2\right)$

 

limx→+∞f(x)=+∞$f:x\mapsto \sqrt{1+x^2}-x\text{ en }-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }$

 حالة عدم التعيين

∞, +∞$f:x\mapsto \sqrt{1+x^2}-x\text{ en }-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }$

$\begin{array}{ccc}{lim}_{x\to +\infty }f\left(x\right)& =& {lim}_{x\to +\infty }\left[\frac{(\sqrt{1+x^2}-x)(\sqrt{1+x^2}+x)}{(\sqrt{1+x^2}+x)}\right]\\ & =& {lim}_{x\to +\infty }\left[\frac{1+x^2-x^3}{(\sqrt{1+x^2}+x)}\right]\\ & =& {lim}_{x\to +\infty }\left[\frac{1}{(\sqrt{1+x^2}+x)}\right]\end{array}$ 

 

: $\{\begin{array}{ccc}{lim}_{x\to +\infty }(1+x^2)& =& +\infty \\ {lim}_{x\to +\infty }\sqrt{x}& =& +\infty \end{array}$

 

 

${lim}_{x\to +\infty }\sqrt{1+x^2}=+\infty \left(3\right)$

 

و ${lim}_{x\to +\infty }\left(x\right)=+\infty \left(4\right).$

 

ومنه: ${lim}_{x\to +\infty }(\sqrt{1+x^2}+x)=+\infty .$ 

 

اذن $\begin{array}{ccc}{lim}_{x\to +\infty }f\left(x\right)& =& {lim}_{x\to +\infty }\left[\frac{1}{(\sqrt{1+x^2}+x)}\right]\\ & =& 0\end{array}$ 

 

***مثال***

 $\underset{x\to -3}{lim}\frac{\sqrt{2x+22}-4}{x+3}$

$$\begin{array}{cc}\underset{x\to -3}{lim}\frac{\sqrt{2x+22}-4}{x+3}& =\underset{x\to -3}{lim}\frac{\left(\sqrt{2x+22}-4\right)}{\left(x+3\right)}\frac{\left(\sqrt{2x+22}+4\right)}{\left(\sqrt{2x+22}+4\right)}=\underset{x\to -3}{lim}\frac{2x+22-16}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{2x+22}+4\right)}\\ & =\underset{x\to -3}{lim}\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{2x+22}+4\right)}=\underset{x\to -3}{lim}\frac{2}{\sqrt{2x+22}+4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\end{array}$$

**مثال**

 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{3-\sqrt{x+9}}$.

 

$$\begin{array}{cc}\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{3-\sqrt{x+9}}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\left(3-\sqrt{x+9}\right)}\frac{\left(3+\sqrt{x+9}\right)}{\left(3+\sqrt{x+9}\right)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\left(3+\sqrt{x+9}\right)}{9-\left(x+9\right)}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\left(3+\sqrt{x+9}\right)}{-x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{3+\sqrt{x+9}}{-1}=-6\end{array}$$

**مثال**

 $\underset{z\to 4}{lim}\frac{\sqrt{z}-2}{z-4}$,

$$\underset{z\to 4}{lim}\frac{\sqrt{z}-2}{z-4}=\underset{z\to 4}{lim}\frac{\left(\sqrt{z}-2\right)}{\left(z-4\right)}\frac{\left(\sqrt{z}+2\right)}{\left(\sqrt{z}+2\right)}=\underset{z\to 4}{lim}\frac{z-4}{\left(z-4\right)\left(\sqrt{z}+2\right)}=\underset{z\to 4}{lim}\frac{1}{\sqrt{z}+2}=\frac{1}{4}$$

********************************************************

*النهايات بالمقارنة*

*****اذا كان لدينا****

فان

  

**مثال**

اذا كان  $7x\le f\left(x\right)\le 3x^2+2$        أحسب 

$\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)$

$$\underset{x\to 2}{lim}7x=14\underset{x\to 2}{lim}\left(3x^2+2\right)=14$$

,

$$\underset{x\to 2}{lim}7x=\underset{x\to 2}{lim}\left(3x^2+2\right)=14$$

$$\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=14$$

***مثال***

 

لان 

من اجل كل x ≠ 0, -1 ≤ sin x ≤ 1  

اذن

ومن جهة أخرى 

وبالتالي

********اذا كان********

فان

****اذا كان****

فان

*******مثال********

    

 لدينا

.

اذن

*******************************************************************

حالات عدم التعيين

`0/0` و        `∞.0`   و   +∞-∞  و  `∞/∞`

**********************************************************************

تطبيق

   `-∞`  =`\lim_{x\to+\infty}(-3x^3)`=`\lim_{x\to+\infty}(-3x^3+2x^2-5x+6)`

   `-∞` =`\lim_{x\to-\infty}(4x^5)`=  `\lim_{x\to-\infty}(4x^5+2x^2-x+1)`

   `-∞`=`\lim_{x\to+\infty}(-3x)/(2)`=`\lim_{x\to+\infty}(-3x^3)/(2x^2)`=`\lim_{x\to+\infty}(-3x^3+2x^2-5x+6)/(2x^2-x)`

`-2/3`=`\lim_{x\to-\infty}(-2x^2)/(3x^2)`=`\lim_{x\to-\infty}(-2x^2+2x+6)/(3x^2-x)`

المستقيمات المقاربة 

اذا كانت  a=`\lim_{x\to+\infty}f(x)`  أو   a =`\lim_{x\to-\infty}f(x)` فان  y=a معادلة المستقيم المقارب  الموازي لمحور الفواصل 

*****************************************************************************************

اذا كانت `+∞`  =`\lim_{x\tob}f(x)`  أو  `-∞`   =`\lim_{x\tob}f(x)` فان  x=b معادلة المستقيم المقارب  

الموازي لمحور التراتيب

*****************************************************************************************

  ليكن المستقيم ذو المعادلة    ; `ax+b`=`y` 

اذا كانت  0=`\lim_{x\to+\infty}(f(x)-y)`  أو  0 =`\lim_{x\to-\infty}(f(x)-y)` فان   `ax+b`=`y`  معادلة المستقيم  المقارب المائل 

ملاحضة هامة

 اذا كانت الدالة  `f`  من الشكل    `f(x)= ax+b+g(x)`   

وكانت     0   =`\lim_{x\to+\infty}g(x)`  

أو

0 =`\lim_{x\to-\infty}g(x)`

فان  `ax+b`=`y`  معادلة المستقيم المقارب المائل 

************************************************************

تطبيق

 `2x+3+(x+4)/(x^2-2x+2)`=`f(x)` 

 بما أن

0 =`\lim_{x\to-\infty}(1)/(x)` =`\lim_{x\to-\infty}(x)/(x^2)`= `\lim_{x\to-\infty}(x+4)/(x^2-2x+2)`

فان

`2x+3`=`y`     معادلة المستقيم المقارب المائل 

دراسة تغيرات دالة على مجموعة تعريفها

*********************************************************************************************************

تمرين للحل 

  `d_f=R-{1}` / `f(x)=(x^3-5x^2+7x+1)/(x-1)^2`  

أحسب النهايات عند الاطراف المفتوحة ل  `d_f=R-{1}` 

تحقق أن f(x) تكتب على الشكل `f(x)=x-3+4/(x-1)^2`

استنتج جميع المستقيمات المقاربة

مشاهدة حل التمرين الاول

 حساب النهايات

      `-∞` = `\lim_{x\to-\infty}(x)` =`\lim_{x\to-\infty}(x^3)/(x^2)`=  `\lim_{x\to-\infty}f(x)`

`+∞` = `\lim_{x\to+\infty}(x)` =`\lim_{x\to+\infty}(x^3)/(x^2)`=  `\lim_{x\to+\infty}f(x)`

`+∞`=`4/0^+`=  `\lim_{x\to1^+}f(x)`

`+∞`=`4/0^+`=  `\lim_{x\to1^-}f(x)`

التحقيق

`(x^3-5x^2+7x+1)/(x-1)^2`=`((x-3)(x-1)^2)/(x-1)^2+4/(x-1)^2`=`f(x)=x-3+4/(x-1)^2`

استنتاج المستقيمات المقاربة

`∞+`=  `\lim_{x\to1^+}f(x)`                                   

  بما أن  

`∞+`==  `\lim_{x\to1^-}f(x)`                    

فان   x=1  م .م .م .م .ت

بما أن  = `\lim_{x\to-\infty}(4/(x-1)^2)=0`

فان `y=x-3` م.م.م.م

اغلاق المشاهدة

**************************************************************************************

النهايات باستخدام العدد المشتق

التمرين الاول

أحسب النهايات التلية$$\begin{array}{ccc}1.\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{3x+2}-e^2}{x}& & 2.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x-1}{x}\\ 3.\underset{x\to 1}{lim}\frac{\ln (2-x)}{x-1}& & 4.\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\frac{\exp \left(\cos x\right)-1}{x-\frac{\pi }{2}}.\end{array}$$

1. نضع $f\left(x\right)=e^{3x+2}$. ومنه $f\left(0\right)=e^2$ و $$\frac{e^{3x+2}-e^2}{x}=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}.$$وعليه$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{3x+2}-e^2}{x}=f^{\prime }\left(0\right)=3e^2,$$نعلم ان
   $f^{\prime }\left(x\right)=3\exp (3x+2)$.
2. 
   
3. 
   
4. نضعs $g\left(x\right)=\cos x$.ومنه$g\left(0\right)=1$ و$$\frac{\cos x-1}{x}=\frac{g\left(x\right)-g\left(0\right)}{x-0}.$$اذن$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x-1}{x}=g^{\prime }\left(0\right)=0$$حيث $g^{\prime }\left(x\right)=-\sin \left(x\right)$.
5. 
   
6. نضع $h\left(x\right)=\ln (2-x)$, ومنه $h^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{2-x}$. و$$\frac{\ln (2-x)}{x-1}=\frac{h\left(x\right)-h\left(1\right)}{x-1}$$لدينا $h\left(1\right)=\ln \left(1\right)=0$. ومنه$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\ln (2-x)}{x-1}=h^{\prime }\left(1\right)=-1.$$
7. وهكذا وبنفس الطريقة

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

التمرين الثاني

 

 

مشاهدة حل التمرين الثاني اغلاق المشاهدة

التمرين  الثالث

 

 

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

التمرين الثالث

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}7-4x& x<1\\ x^2+2& x\ge 1\end{array}$$

أحسب النهايات

1. $\underset{x\to -6}{lim}f\left(x\right)$
 
2. $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)$

a $\underset{x\to -6}{lim}f\left(x\right)$ 

$$\underset{x\to -6}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -6}{lim}\left(7-4x\right)=31$$

b $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)$ 

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(7-4x\right)=\underset{–}{3}x<1$$$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(x^2+2\right)=\underset{–}{3}x>1$$

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=3$$

$$\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=3$$

مشاهدة حل التمرين الثالث اغلاق المشاهدة

التمرين الرابع

نضع $g\left(x\right)=\frac{x+7}{x^2-4}$,

1. $\underset{x\to 2^{-}}{lim}g\left(x\right)$
 
2. $\underset{x\to 2^{+}}{lim}g\left(x\right)$
 
3. $\underset{x\to 2}{lim}g\left(x\right)$

فسر النتيجة

a $\underset{x\to 2^{-}}{lim}g\left(x\right)$  

 $x\to 2^{-}$ أي $x<2$.

$$x^2-4\to 0^{-}$$$$\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{x+7}{x^2-4}=-\infty$$

معادلة المستقيم المقارب $x=2$.

b $\underset{x\to 2^{+}}{lim}g\left(x\right)$ 

 $x\to 2^{+}$ أي $x>2$.

$$x^2-4\to 0^{+}$$

$$\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{x+7}{x^2-4}=\infty$$

 $x=2$معادلة المستقيم المقارب

c $\underset{x\to 2}{lim}g\left(x\right)$

$$\underset{x\to 2^{-}}{lim}g\left(x\right)\ne \underset{x\to 2^{+}}{lim}g\left(x\right)$$

$$\underset{x\to 2}{lim}g\left(x\right)$$النهاية غير موجودة

مشاهدة حل التمرين الرابع اغلاق المشاهدة

التمرين الخامس

$f\left(x\right)=\frac{\sqrt{7+9x^2}}{1-2x}$

1.  $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)$.
2.  $\underset{x\to \mathrm{+\infty }}{lim}f\left(x\right)$.
3. فسر النتيجة

a $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)$.

$$\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{7+9x^2}}{1-2x}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2\left(\frac{7}{x^2}+9\right)}}{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2}\sqrt{\frac{7}{x^2}+9}}{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\left|x\right|\sqrt{\frac{7}{x^2}+9}}{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}$$

.

$$\sqrt{x^2}=\left|x\right|$$

 $x\to -\infty$ فان $x<0$. اذن

$$\left|x\right|=-x$$

اذن

$$\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{7+9x^2}}{1-2x}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{-x\sqrt{\frac{7}{x^2}+9}}{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{-\sqrt{\frac{7}{x^2}+9}}{\frac{1}{x}-2}=\frac{-\sqrt{9}}{-2}=\frac{3}{2}$$

b  $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)$. 

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\sqrt{7+9x^2}}{1-2x}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2\left(\frac{7}{x^2}+9\right)}}{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2}\sqrt{\frac{7}{x^2}+9}}{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\left|x\right|\sqrt{\frac{7}{x^2}+9}}{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}$$

.

$$\sqrt{x^2}=\left|x\right|$$

 $x\to +\infty$ فان $x\mathrm{＞0}$. اذن

$$\left|x\right|=x$$

اذن

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\sqrt{7+9x^2}}{1-2x}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x\sqrt{\frac{7}{x^2}+9}}{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\sqrt{\frac{7}{x^2}+9}}{\frac{1}{x}-2}=\frac{\sqrt{9}}{-2}=\frac{3}{2}$$

$$\mathrm{بوجد\; مستقمين\; مقاربين\; معادلتهما\; y}=\frac{3}{2}$$$$y=-\frac{3}{2}$$

$\mathrm{<br>}$

مشاهدة حل التمرين الخامس اغلاق المشاهدة

التمرين 6

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x}$$

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x}$$

 $x=2$ ,

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x}=\frac{0}{0}$$

حالة عدم التعيين

$$\begin{array}{cc}\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x}& =\underset{x\to 2}{lim}\frac{\left(x-2\right)\left(x+6\right)}{x\left(x-2\right)}\\ & =\underset{x\to 2}{lim}\frac{x+6}{x}\end{array}$$

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x+6}{x}=\frac{8}{2}=4$$

مشاهدة حل التمرين 6 اغلاق المشاهدة

التمرين الاول

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

التمرين الاول

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

التمرين الاول

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

التمرين الاول

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

التمرين الاول

وضع التمرين الاول

حل التمرين الاول

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

التمرين الاول

وضع التمرين الاول

حل التمرين الاول

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

التمرين الاول

وضع التمرين الاول

حل التمرين الاول

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

التمرين الاول

وضع التمرين الاول

حل التمرين الاول

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

التمرين الاول

وضع التمرين الاول

حل التمرين الاول

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

التمرين الاول

وضع التمرين الاول

حل التمرين الاول

مشاهدة حل التمرين الاول اغلاق المشاهدة

123